Integrales definidas e indefinidas

Integral indefinida: la familia de antiderivadas

Una integral indefinida, escrita como ∫f(x) dx, es el proceso de encontrar una función F(x) cuya derivada sea f(x). Como la derivada de cualquier constante es cero, no existe una única respuesta: existe una familia entera de funciones que difieren solo en una constante. Por eso el resultado siempre se escribe como F(x) + C.

Ejemplo: ∫2x dx = x² + C. Tanto x² como x² + 5 o x² - 3 tienen la misma derivada (2x), así que todas son soluciones válidas: la constante C representa esa familia completa.

El resultado de una integral indefinida es siempre otra función, no un número.

Integral definida: un número, el área bajo la curva

Una integral definida, escrita como ∫[a, b] f(x) dx, tiene un límite inferior (a) y un límite superior (b). A diferencia de la indefinida, su resultado es un número concreto: el área con signo entre la curva de f(x) y el eje x, entre los puntos a y b.

"Con signo" significa que, si la curva está por debajo del eje x en ese intervalo, el área cuenta como negativa. Esto tiene sentido en aplicaciones reales: por ejemplo, si f(x) representa una velocidad, un valor negativo indica movimiento en dirección contraria, y la integral definida (el desplazamiento neto) debe reflejar esa dirección.

El Teorema Fundamental del Cálculo: el puente entre ambas

El Teorema Fundamental del Cálculo es lo que conecta las dos ideas: para calcular una integral definida, primero calculas la integral indefinida (la antiderivada F(x)) y después evalúas esa función en los dos límites, restando:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)

La constante C que aparece en la integral indefinida se cancela automáticamente al restar F(b) - F(a), por eso una integral definida nunca lleva +C en su resultado final.

Ejemplo resuelto paso a paso

Calculemos ∫[1, 3] x² dx (el área bajo la parábola x² entre x=1 y x=3).

Paso 1. Encuentra la antiderivada: ∫x² dx = x³/3.

Paso 2. Evalúa en el límite superior: F(3) = 3³/3 = 27/3 = 9.

Paso 3. Evalúa en el límite inferior: F(1) = 1³/3 = 1/3.

Paso 4. Resta: F(3) - F(1) = 9 - 1/3 = 26/3 ≈ 8,67.

El área bajo la curva de x² entre 1 y 3 es exactamente 26/3 unidades cuadradas. Puedes comprobar este resultado en la calculadora de integrales: elige el modo "Definida", escribe x^2 como función, 1 como límite inferior y 3 como superior.

¿Cuándo aparece un resultado negativo?

Cuando la curva de la función está por debajo del eje x en parte o todo el intervalo, el resultado de la integral definida puede ser negativo o menor de lo esperado, porque las áreas por debajo del eje se restan en vez de sumarse.

Ejemplo: ∫[0, 2π] sin(x) dx = 0. Aunque el seno tiene áreas positivas y negativas visualmente grandes en ese intervalo, se cancelan exactamente porque el área por encima del eje entre 0 y π es igual (en valor absoluto) al área por debajo del eje entre π y 2π.

Si lo que necesitas es el área total sin signo (por ejemplo, la distancia total recorrida en vez del desplazamiento neto), tendrías que dividir el intervalo en las partes donde la función es positiva y negativa, e integrar cada tramo por separado.

Tabla comparativa rápida

Cómo calcular cada tipo con esta calculadora

En la calculadora de integrales puedes elegir directamente el modo que necesitas. Si además quieres repasar el método completo para resolver la antiderivada a mano (regla de la potencia, sustitución, integración por partes), consulta nuestra guía cómo resolver integrales paso a paso.

• Modo "Indefinida": escribe tu función y obtén la antiderivada general, con +C ya incluido en el resultado.
• Modo "Definida": escribe tu función y además los límites inferior y superior. La calculadora aplica el Teorema Fundamental del Cálculo por ti y muestra tanto el valor exacto (por ejemplo, una fracción) como su aproximación decimal.
• En ambos modos, la calculadora muestra el método aplicado y verifica el resultado derivándolo de nuevo, así puedes confiar en la respuesta sin repetir el cálculo a mano.

Más allá del área: otras aplicaciones de la integral definida

Aunque el área bajo la curva es la interpretación geométrica más intuitiva, la integral definida aparece en muchos otros contextos: en física, integrar la velocidad respecto al tiempo da el desplazamiento; integrar la aceleración da el cambio de velocidad; integrar una fuerza respecto a la distancia da el trabajo realizado. En estadística, la integral definida de una función de densidad de probabilidad entre dos valores da la probabilidad de que una variable caiga en ese rango. En economía, se usa para calcular el excedente del consumidor o del productor a partir de curvas de oferta y demanda.

En todos estos casos, el procedimiento matemático es idéntico al que se explica en esta guía: encontrar la antiderivada y evaluarla en los dos límites del intervalo que te interese.

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